9. 접합형 전계효과 트랜지스터 ( JFET )의 드레인 소스간 전류 근사식 또는 쇼클리 방정식 ( Shockley’s equation )

FET를 공부하다 보면 처음 맞닥뜨리는 수식이 있다. 이름하여 드레인과 소스간 전류 ( ID )의 근사식이라는것이다. 또는 쇼클리 방정식 ( Shockley’s equation )이라고 하는데 BJT를 특허낸 쇼클리와 어떤 연관이 있는지는 모호하다. 쇼클리가 창안한 방정식이 아닌 것은 분명한 듯 하지만, 왜 이름을 쇼클리와 연관시켰는지 출처는 없다. 트랜지스터 개발에 지대한 공헌을 했던 쇼클리를 기념하여 헌정 했음직하다.

​방정식의 형태는 아래와 같다. 골격은 입력과 출력과의 관계로 드레인 전류( ID )가 게이트-소스간 전압( VGS )으로 결정된다는 간단한 의미를 가진 식이다.

 

또는,

 

 

☞ 핀치오프 전압은 차단전압과 같으므로 기호를 같게 사용한다. VP = VGS(OFF)

출처가 어떻든, 유도가 어찌 되었든 이 방정식을 이해 하는데 주력하기로 한다. FET에 관련된 중요한 식을 이해하기 위한 길 앞잡이 역활을 하는 식이기도 하다. 

식 자체만으로도 태생이 불분명해 이해하기 생소했던 방정식을 그저 수학적인 2차 함수를 도입하고 접근해서 방정식의 형태가 짜여진 이유를 알면 그것만으로도 족하다.

먼저 우리가 중학교 때 배웠던 2차 함수의 그래프를 등장시켜 본다. 아주 기본적인 수학 지식으로 1차 함수는 직선이고, 2차 함수는 사발 모양의 곡선 형태로 된다는 것은 알고들 있을 것이다. 처음 1차, 2차 함수를 배울 때는 선생님이 x값에 일일이 -3,-2,-1, 0,1, 2, 3등의 값들을 넣어 그래프로 그려 보라고 하여 개념을 잡게 하였을 것이다.

 

 

쇼클리 방정식은 이차 방정식이므로 윗 그림 오른쪽의 형태가 될 것은 명약관화하다. 전달특성곡선은 x 좌표의 왼쪽, 즉 함수평면의 이사분면쪽에 위치해 있으므로 이차 함수의 기본형에서 x 축으로 좌측평행이동 시켜줘야 한다. 이차함수의 기본형태에서 식을 좀 요리할 필요가 있어 보인다.

 

 

​평행이동 시키는 방법을 사용 했더니 비슷한 그림이 그려지기 시작한다. 어디가 비슷한가? 위 그림에서는 비록 작게 그려졌지만,  x, y가 각각 1인 사각평면 안을 보면 전달특성 그래프 형태가 다소곳이 나타난다. 기미가 엿보인다. 그러나 전달특성 그래프가 좌표평면상에서 수학식 형태로 완전하게 구현된다고 어림짐작하면 곤란하다. 구간에 따라 함수값을 윽박질러 정해 줘야 하는 번거로움이 발생한다.

​그런데 문제는 쇼클리 방정식에서 괄호안의 기호는 - 인데 평행이동을 제대로 시켰더니 +가 되어 버린다. 기호문제는 어떻게 해소 할까?

 

 

허나, JFET 에서는 핀치오프 전압( Vp )은 음수인 상수값이 되므로 쇼클리 방정식은 결국 위의 - 부호가 + 가 되는 것이다. [ -(1/-1) = (-1)/(-1)=+1 이 되듯이 ]. 다음에는 포화드레인 전류 ( Saturation Drain Current ) IDSS 값을 변화시키면 함수 그래프가 어떻게 변화하는가 살펴 본다.

 

 

 

 

 

 

함수의 기울기가 급격해 진다.

핀치오프 전압( Vp )을 -3V라고 가정하고, 게이트-소스간 전압( VGS )이 -3V가 될 때 y축의 드레인 전류가 차단되는 것을 위의 그래프가 잘 보여 주고 있다. 포화드레인 전류 ( Saturation Drain Current ) IDSS 값은 게이트-소스간 전압( VGS )이 0V 일 때 함수의 그래프가 y축과 만나 쇼클리 방정식 형태에 점점 짜맞추어 진다. 전달특성의 그래프가 확연히 보인다. 대충 요약 정리해 준다.

​

 

포화 드레인 전류 ( Saturation Drain Current ) 가 상수, 핀치오프 전압 ( Pinch-off voltage )도 상수, 게이트-소스간 전압( VGS )이 미지수 x 변수이므로, x와 y값이 각각 0 이 되는 값을 찾아 주면 된다. 실제적인 값을 넣어서 계산해 준다.

​Vishay 社의 2N4391의 규격표를 기준으로 생각해 준다. IDSS=50㎃, VP=-4V 이기 때문에 드레인과 소스간의 전류 ( ID )의 근사식은 아래와 같이 매우 단촐하게 변하게 된다. 게이트-소스간 전압( VGS )이 미지수이고 나머지는 두항은 상수이기 때문에 식은 아래와 같이 설정 된다.

 

 

1. VGS=0V 일 때 드레인 전류값을 찾아 본다.

​

​2. VGS=-4V  일 때를 보자.

 

 

VGS=0V 일 때와 -4V일 때를 각각 구했으므로 그래프를 간편하게 그려 볼 수 있게 됐다.

 

 

어떤 그래프와 비슷해 졌는지 이제는 확연하게 알 수 있다.

 

 

게이트-소스간 전압( VGS )d이 0V 일 때 드레인 전류가 가장크고, 핀치오프 전압 이상에서는 드레인 전류가 0 이 되므로 구간을 정해 주어야 한다. 전달 특성을 얻을 수 있는 구간은 Vp <  VGS < 0 구간이며, Vp > VGS 구간에서는 차단되므로 쇼클리 방정식이  모든 구간에서 마구잡이로 적용되기는 무척 어렵게 된다.

​​여기까지 고찰하면 쇼클리 방정식은 아주 정확하기 보다는 근사적으로 판단 된다. 그래서 근사식인 것이다. 따라서 이 식만으로는 부족하다고 생각 되기 때문에 이식을 근간으로 해서 약간의 첨가하는 식이 존재하는 것이다. 쇼클리 방정식을 아예 이해 하지 못하고 쇼클리 방정식에 다른 식을 약간 첨가한 것을 마주하게 되면 그 때부터는 혼수상태에 이르게 되는 것이다.  

여하튼 쇼클리 방정식이라고 부르는 식을 암기하기로 한다. 이 식으로 부터 파생되는 상호 컨덕턴스( mutual conductance, gm )를 구하는 방법을 이해하기 위한 디딤돌 지식이 되어야 하기 때문이다.