10. 접합형 전계효과 트랜지스터 ( JFET )의 상호 컨덕턴스 ( Mutual conductance )

상호 컨덕턴스 (  mutual conductance ) 또는 전달 컨덕턴스 ( Trans conductance )는 BJT에서도 출연 한 바  있다. FET에서도 동일한 의미를 가진다. 증폭기의 입력과 출력의 상호 관계를 보는 것이기 때문에 '상호' ( 입력과 출력 ) 컨덕턴스라고 하며, 값은 저항의 역수이기 때문에 컨덕턴스[ 단위 S ( or mho ) =1/R ] 라고 불러주는 것이다.  

상호 컨덕턴스는 많이 들어 보았지만 왜 필요한지에 대한 유용성을 확실히 해 두지 못했기 때문에 잊어 버리기 쉬웠다. 먼저 상호 컨덕턴스가 왜 필요한지 말하기 전에 어떻게 유도 되고 식이 성립되는지 풀어 본다. 전술 했듯이 FET의 쇼클리 방정식이 필요하다.

공학에서 식으로 유도한다는 말은, 유의미한 특정값을 알고 싶을 때 식의 형태는 이미 상수로 주어진 것이나 측정이 가능한 것으로 조립 해 주는 게 목표가 된다.

 

 

출력 특성 곡선에서 어떻게 변하는지 변화율을 풀어 보면 상호 컨덕턴스를 구할 수 있다. 상호 컨덕턴스는 아래와 같이 정의 해 준다. [ BJT 에서는 입력으로 베이스-에미터간 전압 변화율( ΔVBE ) 과 출력인 컬렉터 전류의 변화율(Δ IC )의 비율관계이다. FET와 비슷하다. ]  

 

 

윗 식에 숨겨진 사실이 하나 있다. 그것은 드레인 전류가 일정 해야 한다, 또는 포화영역이어야 한다는 것이다. 이를 표시하기 위해 옆에 드레인 전류가 일정 하다는 표기를 해 주기도 한다. 드레인 전류 대신 이미 확실하게 암기해 두었던 쇼클리 방정식을 대입한다.

 

 

여기서 고등학교 때 배운 미분과 인수분해 공식을 활용해야 한다. 미분이 들어 가서 어렵다고 예단 하지 말자.  아주 간단한 유리함수의 미분공식이니 걱정 할 것은 없다. 차근차근 진행하기로 하자. 일단 미분할 함수와 곱해진 계수는 미분하고 상관없기 때문에 앞으로 꺼내 둔다. 미분의 성질에 대한 공식 중 하나이다.

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여기서 포화 드레인 전류 ( Saturation Drain Current ) IDSS는 미분될 함수와 곱해진 상수로 앞으로 꺼내둘 수 있다.

 

 

중괄호 안의 식은 제곱수 인수분해 공식을 적용한다. 제곱수 인수 분해란 아래와 같이 전개 할 수 있다.

 

 

따라서 중괄호 안의 식은 아래와 같이 전개 되는 것은 확실하다.

 

 

여기서 변수와 상수를 분리하여야 한다. 상수는 미분하면 0 이 되고,  변수만 미분 되므로 분리해서 식을 전개해 나가는 것이 편하다. 위의 식에서는 게이트-소스간 전압( VGS )이 변수가 되고 나머지는 상수 이다. 상수 이지만 변수 앞에 붙은 상수는 계수이므로 미분할 때는 유의해야 한다.

 

 

유리함수의 미분 공식을 고등학교 수학교과서에서 빌려 온다. 간단한 것인데도 기억 안 나거나 모른다고 머리 쥐어 박으며 지레 한숨 쉴 필요 없다. 책은 좋지 않은 기억력을 위해 책장에 보라고 꽂혀 있는 것이다. 참고 하면 된다.

 

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아주 쉽다. 상수는 0 이 되고, 변수의 (r)차수는 그대로 변수 앞으로 나오면서 r-1차수로 차수를 낮춰주면 된다.

 

 

위의 식이 상호 컨덕턴스의 식이다. 저항 값이나 컨덕턴스 값이 음의 값을 갖지 않기 때문에 절대값을 취해 주는 것이다. 게이트-소스간 전압( VGS )이 0~- Vp 값을 가질 때 소괄호 안은 + 값을 가진다. 그래서 식의 앞머리에 나온 핀치오프 전압에 절대값 기호가 필요하다. 하여튼 처음에 나온 식을 대충 눈에 익혀주면 된다.

게이트-소스간 전압( VGS ) 전압이 0V가 되는 점에서 기울기가 급격해 최대 상호 컨덕턴스가 된다. 이를 구별하기 위해 gm0 라고 써 준다. 표현 식은 아래와 같이 전개 된다.

 

 

아주  간단하게 포화 드레인 전류와 핀치오프 전압을 앞면 구할 수 있게 된다.  이 식을 넣어 전달 컨덕턴스를 구하는 식도 있게 된다. 쇼클리 방정식에서

 

 

따라서,

 

 

그러므로 최종적인 식은,

 

 

물론 데이터 시트에서는 상호 컨덕턴스를 제공하는 것도 있다. 만약 없다면 데이터 시트에서 주어지는 몇가지 상수로 간단히 상호 컨덕턴스를 구할 수 있게 되었다. 2SK301 Silicon N-Channel Junction FET 의 상호 컨덕턴스는 데이터 시트에서 주어졌다.

 

 

컨덕턴스의 단위는 모( mho )이며 기호는 ℧ 라고 배운 사람도 있을 것 같다. 국제표준은 아니지만 혼용해서 하기 때문에 틀렸다고 말할 수는 없다.

​2SK301 특성표에서는 위에서는 S를 사용 했다. mS 이니 10-3S가 되겠다. 지멘스 ( Siemens, 기호 S )는 전도율의 국제 단위이다. 실제로 1971 제 14회 국제도량형 총회에서 SI단위로 채택 된 공인 기호가 지멘스이다. 지멘스는 에른스트 베르너 폰 지멘스(Ernst Werner von Siemens, 1816년 12월 13일 ~ 1892년 12월 6일)의 이름을 딴 단위이기 때문에 대문자 S를 사용한다. 시간 초( 秒 , second )로 규정 된 소문자 s와 구별해 준다. 이런 혼동을 막기 위해 ohm 단위의 알파벳 역배열인 모( mho,  ℧ )를 써 준다는 것을 알 수 있다. ( 위키백과 '지멘스' 참조 )

그런데 문제는 상호 컨덕턴스가 어떻게 쓰이며, 왜 유용한지를 알아야 한다. 그렇지 않으면 그저 상호 컨덕턴스가 있다는 것 이외에는 하등에 도움이 안된다.. 왜 배워야 하는지를 위치 지워 주어야 지식의 의미가 살아 나게 된다.

그래서 다음에 설명할 주제는 상호 컨덕턴스의 유용성이 될 것이다.